使x的方程（a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6有整数解，求整数a有几个

韦达定理

1
当a=-1时,原方程为
-2x-8=0;解得x=-4.

2
若a≠-1,则
由韦达定理,
x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);
x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);
则若x和a都是整数,则
令p=x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);
q=x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);
则
a^2+1=2p·（a+1);
2a^3-6=q·（a+1);
两式相加得:
2a^3 +a^2 -5 =(2p+q)·（a+1);
(2a^3 +a^2 -5)/（a+1)=2p+q;
使(2a^3 +a^2 -5)/（a+1)=(2a^2-a+1)-6/（a+1)为整数,则可知
a+1 一定能被6整除.
则a可能的取值是:
-7,-3,-2,0,1,2,5;

将上面各值分别代入原方程得,可知,当a=-7,-3,-2,2,5时原方程的判别式小于零.

于是,a=0,1或-1.